cosα=tanβ ,cosβ=tanγ ,cosγ=tanα 求证 sin2α=sin2β=sin2γ 并求出求证 sin2α=sin2β=sin2γ

题目

cosα=tanβ ,cosβ=tanγ ,cosγ=tanα 求证 sin2α=sin2β=sin2γ 并求出求证 sin2α=sin2β=sin2γ
sin2α的意思是sinα的平方

答案

cos^2(α)=tan^2(β)=[1-cos^2(β)]/cos^2(β)=1/cos^2(β)-1=1/tan^2(γ) -1=cos^2(γ)/[1-cos^2(γ)]-1
=tan^2(α)/[1-tan2^(α)]-1=[1-cos^2(α)]/[2cos^2(α)-1]-1
因此α是一个可以解方程得到的固定值 x=cos^2(α) >=0 化简得方程x^2-x-1=0
解得正根 x=[根号(5)-1]/2
同理也得 cos^2(β)= [根号(5)-1]/2
cos^2(γ)= [根号(5)-1]/2
即cos^2(α) =cos^2(β) =cos^2(γ)
1- cos^2(α) =1-cos^2(β) =1-cos^2(γ)
即sin^2(α) =sin^2(β) =sin^2(γ)