椭圆ax2+6y2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2 ,OC的斜率为根号3/2,求椭圆的方程．

题目

椭圆ax2+6y2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2 ,OC的斜率为根号3/2,求椭圆的方程．

答案

椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2 ,OC的斜率为√3/2,求椭圆的方程．
【解】设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x0,y0）
联立：ax²+by²=1与x+y-1=0得
（a+b)x²-2bx+b-1=0
由韦达定理得：x1+x2=2b/（a+b）,x1•x2=（b-1）/（a+b）.
|AB|=√2•√[2b/（a+b）]²-[4(b-1)/(a+b)]=2
整理得:(a+b)²=2(a+b-ab)……①
又x0=(x1+x2)/2,即x0=b/（a+b）
y0=(y1+y2)/2=(-x1+1-x2+1)/2 即y0=a/（a+b）
OC斜率为√3/2 ,则y0/x0=a/b=√3/2…… ②
联立①②可解得a和b.
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