已知奇函数f(x)在定义域(-1,1)上单调递减,求使不等式f(a-2)+f(6-3a)<0成立的实数a的取值范围.

已知奇函数f(x)在定义域(-1,1)上单调递减,求使不等式f(a-2)+f(6-3a)<0成立的实数a的取值范围.

题目
已知奇函数f(x)在定义域(-1,1)上单调递减,求使不等式f(a-2)+f(6-3a)<0成立的实数a的取值范围.
答案
∵奇函数f(x)在定义域(-1,1)上单调递减,
∴不等式f(a-2)+f(6-3a)<0
可化为f(a-2)<-f(6-3a)
即f(a-2)<f(3a-6)
a−2>3a−6
a−2<1
3a−6>−1

解得:
5
3
<a<2

故实数a的取值范围
5
3
<a<2
根据奇函数f(x)在定义域(-1,1)上单调递减,我们可将不等式f(a-2)+f(6-3a)<0化为
a−2>3a−6
a−2<1
3a−6>−1
,解不等式可得答案.

奇偶性与单调性的综合.

本题是函数单调性和函数奇偶性的综合应用,其中利用函数的性质将原不等式化为不等式组是解答的关键,本题易忽略函数的定义域而错解为a<2

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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