已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*), (1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列. (2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}
题目
已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*),
(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列.
(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},求{bn}的前n项和.
答案
(1)证明:∵f(x)=x
2-2(n+1)x+n
2+5n-7(n∈N
*),
f(x)的图象的顶点的纵坐标为
=3n-8
即a
n=3n-8(n∈N
*),
故{a
n}为一个以-5为首项,以3为公差的等差数列
(2)由(1)及f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{b
n},
则b
n=|a
n|=|3n-8|
当n=1或n=2时3n-8<0,b
n=|3n-8|=8-3n b
1=5 b
2=2
n≥3时3n-8>0 b
n=|3n-8|=3n-8
Sn=b
1+b
2+b
3+…+b
n =5+2+(3×3-8)+(3×4-8)…+(3n-8)
=7+3×(3+4+5+…+n)-8(n-2)
=7+
-8(n-2)
=7+
=7+
.
∴S
n=7+
.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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