已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C． （1）求证：AD=DC； （2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=2，CE=1，求⊙O的半径．

题目

已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．

（1）求证：AD=DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=2，CE=1，求⊙O的半径．

答案

（1）∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，CB⊥AB，
∴AM=BM，OD∥BC
∴AD=DC．
（2）连接O、B两点
∵⊙O的切线交BC于E，
∴OD⊥DE，
又∵OD⊥AB，
∴AB∥DE，
∵OD∥BC，OD⊥DE
∴四边形MDEB为矩形，
∵AD=DC，EC=1，DE=2，
∴EC=BE=MD=1，DE=MB=2，
∴在Rt△BOM中，OB²=OM²+MB²=（OB-MD）²+MB²，即OB²=（OB-1）²+2²，
∴OB=2.5
∴⊙O的半径为2.5．