已知:如图,直角△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α(0<α<180°) 得到△A′B′C,连接AA′,BB′,射线 BB′交AC于点M,交AA′于点N (1)若A
题目
已知:如图,直角△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α(0<α<180°) 得到△A′B′C,连接AA′,BB′,射线 BB′交AC于点M,交AA′于点N
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9213b07eca8065388f3c73e994dda144ac348272.jpg)
(1)若AC=
6,α=2∠BAC,求线段BM的长
(2)求证:△AMN∽△BMC
(3)若3AN=4B′C,sin∠BAC=
,请你确定旋转角α的度数(精确到1°)
答案
(1)∵CB=CB',
∴
∠CBB′=∠CB′B==90−.
∵∠BAC=
,∠ABC=90°,
∴∠BCM=90°-
.
∴∠CBB'=∠BCM.
∴BM=CM.
又∵∠BAC=∠ABM,
∴AM=BM.(2分)
∴BM是Rt△ABC斜边上的中线,
∴BM=
AC=3.(3分)
(2)∵CB=CB',
∴
∠CBB′=∠CB′B==90−.
同理
∠CAA′=90−,
∴∠CAA'=∠CBB'.(5分)
又∠AMN=∠BMC,
∴△AMN∽△BMC.(6分)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d1160924ab18972b2fecd730e5cd7b899f510a72.jpg)
(3)∵△AMN∽△BMC.
∴
===.(7分)
过点M画MH⊥AB于H,
∵
sin∠BAC=,
∴
MH=AM.
在Rt△BHM中,
sin∠MBH=AM÷AM=.(8分)
∴∠ABM=19.5°.
∴∠CBB'=∠CB'B=90°-19.5°=70.5°,
∴α=180°-70.5×2=39°.(10分)
(1)首先根据旋转的性质得到CB=CB',然后根据等腰三角形的性质得到
∠CBB′=∠CB′B==90−,
而∠BAC=
,∠ABC=90°,由此得到∠BCM=90°-
,接着得到∠CBB'=∠BCM,所以BM=CM,又∵∠BAC=∠ABM,所以有AM=BM,∴这样BM是Rt△ABC斜边上的中线,由此即可求出BM的长度;
(2)首先由(1)得到
∠CBB′=∠CB′B==90−,而
∠CAA′=90−,所以∠CAA'=∠CBB',又∠AMN=∠BMC,然后利用相似三角形的判定定理即可证明△AMN∽△BMC;
(3)根据相似三角形的性质可以得到
===,过点M画MH⊥AB于H,而
sin∠BAC=,由此得到
MH=AM,在Rt△BHM中,
sin∠MBH=AM÷AM=,由此即可确定旋转角α的度数.
相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;旋转的性质;锐角三角函数的定义.
此题分别考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质及三角函数的定义,综合性比较强,要求学生对于这些基础知识必须熟练掌握才能很好解决问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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