求极限lim [(1+x)^(1/x)-e]/x=?(n接近无穷大）

题目

求极限lim [(1+x)^(1/x)-e]/x=?(n接近无穷大）

答案

这里先用等价无穷小替换,再用洛必达法则：
(1+x)^(1/x)=e^[ln(1+x)/x],分子化为e×{e^[ln(1+x)/x-1]－1}.x→0时,e^[ln(1+x)/x-1]－1等价于ln(1+x)/x-1,所以
原极限＝e×lim [ln(1+x)/x-1]/x＝e×lim [ln(1+x)-x]/x^2＝e×lim [1/(1+x)-1]/(2x)＝e×lim [(-x)/(1+x)]/(2x)＝e×lim (-1)/[2(1+x)]＝-e/2