AB是抛物线y2=2px的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A（x1,x2）B（x2,y2).求证 1 y1y2=-p2,x1x2=p2/4

题目

AB是抛物线y2=2px的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A（x1,x2）B（x2,y2).求证 1 y1y2=-p2,x1x2=p2/4

答案

y2=2px（p>0）,焦点坐标是（P/2,0）.
代入点A（x1,y1）B（x2,y2)到抛物线y2=2px内得到
y1^2=2Px1
y2^2=2Px2
两个公式相乘
y1y2^2=2p^2x1x2 因为AB是抛物线y2=2px的焦点弦,代入焦点坐标X1=X2=P/2
y1y2^2=2p^2x1x2 =P^4
* y1y2=-P^2(因为抛物线的一个y坐标是正的,一个是负的)
同理,因为焦点坐标X1=X2=P/2
*所以x1x2=p^2/4