若函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围为(  ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(-1,1)

若函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围为(  ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(-1,1)

题目
若函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围为(  )
A. (-∞,+∞)
B. (-∞,1)
C. (-1,+∞)
D. (-1,1)
答案
求一阶导数可得f'(x)=3x2-3a2,两个极值点分别在x=a、x=-a,代入函数,得f(a)=-2a3+1,f(-a)=2a3+1,
当a>0时,f(a)>3或f(-a)<3,得出a<1,
当a<0时,f(a)<3或f(-a)>3,得出a>-1,
当a=0时,显然成立;
则答案为:-1<a<1,
故选D.
要使函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,只需利用函数的最大值或最小值与3进行比较,由于实数a的值不确定,故要分类讨论.

利用导数求闭区间上函数的最值.

本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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