已知椭圆x216+y24=1的左、右顶点分别为A、B,曲线E是以椭圆中心为顶点,B为焦点的抛物线. (Ⅰ)求曲线E的方程; (Ⅱ)直线l:y=k(x-2)与曲线E交于不同的两点M、N,当AM•AN≥6
题目
已知椭圆
+=1的左、右顶点分别为A、B,曲线E是以椭圆中心为顶点,B为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)直线l:y=
(x-2)与曲线E交于不同的两点M、N,当
•
≥68时,求直线l的倾斜角θ的取值范围.
答案
(Ⅰ)依题意得:A(-4,0),B(4,0)
∴曲线E的方程为y
2=16x.-------(2分)
(Ⅱ)由
得:kx
2-(4k+16)x+4k=0
由
解得:k>0----------(4分)
设设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),则:
x1+x2=
,x1x2=4
∴
•
=(x1+4,y1)(x2+4,y2)=(x1+4)(x2+4)+y1y2
=(k+1)x1x2+(4-2k)(x1+x2)+16+4k=
+4≥68----------(6分)
∴0<k≤1,
∴θ∈(0,
]----------(8分)
(Ⅰ)依题意可求A,B进而可求抛物线E的方程
(Ⅱ)联立方程
得:kx
2-(4k+16)x+4k=0,根据方程有两个不等的根,结合韦达定理可得k的范围,进而可求θ的范围
直线与圆锥曲线的综合问题.
本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程,直线与抛物线方程的相交的处理中,要注意方程的根与系数的关系的应用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点