已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,AD,CE都是△ABC的高,它们交于H.求证: (1)AE=EC; (2)AH=2BD.

已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,AD,CE都是△ABC的高,它们交于H.求证: (1)AE=EC; (2)AH=2BD.

题目
已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,AD,CE都是△ABC的高,它们交于H.求证:

(1)AE=EC;
(2)AH=2BD.
答案
证明:(1)∵CE是△ABC的高,
∴∠AEC=90°,
∵∠CAB=45°,
∴∠ACE=45°=∠CAE,
∴AE=EC.
(2)∵AD,CE都是△ABC的高,
∴∠AEH=∠CEB=∠ADC=90°,
∵∠AHE=∠CHD,∠EAH+∠AEH+∠AHE=180°,∠BCE+∠CHD+∠ADC=180°,
∴∠EAH=∠BCE,
在△AEH和△CEB中,
∠AEH=∠CEB
AE=EC
∠EAH=∠ECB

∴△AEH≌△CEB(ASA),
∴AH=BC,
∵AB=AC,AD是△ABC的高,
∴BC=2BD,
∴AH=2BD.
(1)求出∠AEC=90°,根据三角形内角和定理求出∠ACE=45°=∠CAE即可;
(2)求出AE=EC,∠EAH=∠BCE,∠AEH=∠CEB,证△EAH≌△ECB,推出AH=BC,根据等腰三角形性质得出BC=2BD,即可得出答案.

全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

本题考查了等腰三角形性质,全等三角形的性质和判定的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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