方程|x−4−y2|+|y+4−x2|=0所表示的曲线与直线y=x+b有交点,则实数b的取值范围是_.

方程|x−4−y2|+|y+4−x2|=0所表示的曲线与直线y=x+b有交点,则实数b的取值范围是_.

题目
方程|x−
4−y2
|+|y+
4−x2
|=0
所表示的曲线与直线y=x+b有交点,则实数b的取值范围是______.
答案
∵由 方程|x−
4−y2
|+|y+
4−x2
|=0

可得 |x−
4−y2
| =0
 且 |y+
4−x2
|=0

∴x2+y2=4且x≥0,y≤0,表示以原点为圆心,以2为半径的圆位于第四象限内的部分,
包括与轴的交点,如图所示:
当直线与AB重合时,曲线与直线有两个交点,
当直线与l重合时,曲线与直线相切,仅有一个交点,
AB在y轴上的截距为-2,易知直线l在y轴上的截距为-2
2
,且AB∥直线l,故实数b的取值范围是[−2
2
,−2]

故答案为  [−2
2
,−2]
曲线方程即 x2+y2=4,且 x≥0,y≤0,表示以原点为圆心,以2为半径的圆位于第四象限内的部分,
包括与轴的交点,如图所示,从而求得直线y=x+b 在y轴上的截距b的取值范围.

直线与圆锥曲线的关系.

本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,得到 x2+y2=4,且 x≥0,y≤0,并画出图象是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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