设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．（1）求b的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性．

题目

设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数．
（1）求b的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

答案

解（1）f（x）=lg

1+ax

1+2x

（-b<x<b）是奇函数等价于：
对任意x∈（-b，b）都有

f(-x)=-f(x) ① 1+ax 1+2x >0 ②

①式即为lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

=lg

1+2x

1+ax

，由此可得

1-ax

1-2x

=

1+2x

1+ax

，
也即a²x²=4x²，此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于a²=4，
因为a≠2，所以a=-2，
代入②式，得

1-2x

1+2x

>0，即-

1

2

<x<

1

2

，
此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于
-

1

2

≤-b<b≤

1

2

，
所以b的取值范围是（0，

1

2

]．
（2）设任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁<x₂，
由b∈（0，

1

2

]，得-

1

2

≤-b<x₁<x₂<b≤

1

2

，
所以0<1-2x₂<1-2x₁，0<1+2x₁<1+2x₂，
从而f（x₂）-f（x₁）=lg

1-2x2

1+2x2

-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)

<lg1=0
因此f（x）在（-b，b）内是减函数．

（1）由函数f（x）在区间（-b，b）是奇函数，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系数法求得a；同时函数要有意义，即

1+ax

1+2x

＞0，x∈（-b，b）上恒成立，可解得结果．
（2）选用定义法求解，先任意取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题主要考查函数的奇偶性，要注意定义域优先考虑原则，还考查了用定义法证明函数的单调性，要注意作差时的变形要到位，要用上两个变量的大小关系．