已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn．若Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），则数列{an+1}是等比数列． （1）写出该命题的逆命题； （2）证明原命题是真命题．

题目

已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n．若S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），则数列{a_n+1}是等比数列．
（1）写出该命题的逆命题；
（2）证明原命题是真命题．

答案

（1）∵原命题是数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，若S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），则数列{a_n+1}是等比数列；
∴它的逆命题是数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为S_n，若数列{a_n+1}是等比数列，则S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）；
（2）证明：在数列{a_n}中，a₁=5，前n项和为S_n，
且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），
∴S_n=2S_n-1+（n-1）+5，
∴（S_n+1-S_n）=2（S_n-S_n-1）+[n-（n-1）]+（5-5）；
即a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2a_n+2，
∴

an+1+1

an+1

=2；
∴数列{a_n+1}是以公比q=2，首项为a₁+1=5+1=6的等比数列．
∴原命题是真命题．