怎样来证明两矩阵和的秩不小于矩阵秩的和

题目

怎样来证明两矩阵和的秩不小于矩阵秩的和
rt
呵呵，是说反了，应该是不大于

答案

证：A,B都是m*n的矩阵,则需证r(A+B)≤r(A)+r(B)
设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组,β(j1),
β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组.那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出,B的每一个列向量均可以用β(j1),
β(j2),...,β(jt)线性表出.于是A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),
α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.
因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,
α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)