已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F． （1）求证：AF⊥SC； （2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．

题目

已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．

（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．

答案

证明：（1）∵SA⊥平面AC，
∴SA⊥BC．
∵AB⊥BC，且SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥SC，且EF⊥SC，AE∩EF=E，
∴SC⊥平面AEF，
∴AF⊥SC．
（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADS，
∴CD⊥AG，由（1）得SC⊥平面AEF，而AG在平面AEF上，
∴SC⊥AG，
∴AG⊥平面SDC，
∴AG⊥SD．