已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.

已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.

题目
已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.

(1)求证:AF⊥SC;
(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.
答案
证明:(1)∵SA⊥平面AC,
∴SA⊥BC.
∵AB⊥BC,且SA∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB,
∴BC⊥AE,
又∵AE⊥SB,且SB∩BC=B,
∴AE⊥平面SBC,
∴AE⊥SC,且EF⊥SC,AE∩EF=E,
∴SC⊥平面AEF,
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥CD,
又∵四边形ABCD为矩形,
∴CD⊥AD,
∴CD⊥平面ADS,
∴CD⊥AG,由(1)得SC⊥平面AEF,而AG在平面AEF上,
∴SC⊥AG,
∴AG⊥平面SDC,
∴AG⊥SD.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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