如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB中点,且AD+BC=DC,求证:DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.
题目
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB中点,且AD+BC=DC,求证:DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.
答案
证明:延长DA和CE交于F,
∵AD∥BC,即AF∥BC,
∴∠F=∠BCE,∠FAE=∠CBE,
∵E是AB中点,
∴AE=BE,
在△AEF和△BEC中,
,
∴△AEF≌△BEC(AAS),
∴EF=CE,AF=BC,
∴DF=AD+AF=AD+BC=DC,
在△DEF和△DEC中,
,
∴△DEF≌△DEC(SSS),
∴∠FDE=∠CDE,即DE平分∠ADC,∠DEF=∠DEC,
∵∠DEF+∠DEC=180°,
∴∠DEF+∠DEC=90°,即DE⊥EC,
∵DF=DC,
∴∠DCE=∠F,
∵AF∥BC,
∴∠BCE=∠F,
∴∠BCE=∠DCE,即CE平分∠BCD.
延长DA与CE,交于F点,由DF与BC平行,利用两直线平行得到两对内错角相等,再由E为AB中点,得到AE=BE,利用AAS得到三角形AEF与三角形BCE全等,利用全等三角形对应边相等得到EF=CE,AF=BC,利用等式的性质及AD+BC=AC,等量代换得到DF=DC,利用三线合一得到DE垂直于CE,DE为角平分线,再利用两直线平行,内错角相等及等边对等角得到CE为角平分线.
全等三角形的判定与性质.
此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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