已知二次函数y=x²-mx+m-1 ①求证：不论m取何实数,函数的图像都与x轴有交点.

题目

已知二次函数y=x²-mx+m-1 ①求证：不论m取何实数,函数的图像都与x轴有交点.
已知二次函数y=x²-mx+m-1
①求证：不论m取何实数,函数的图像都与x轴有交点.
②设这个函数的图像与x轴交于B,C两点,与y轴交于点A,若三角形ABC的面积为28,求m的值
③设抛物线的顶点坐标为P,是否存在实数m,使三角形PBC为等腰直角三角形?如果存在,请求出m的值；如果不存在,请说明理由.
小贴士：可分别求出二次函数图像与x轴的两个交点坐标····

答案

(1) 不论m取何实数,函数的图像与x轴有交点,指的是x^2-mx+m-1=0一定有解,
这个可以用判别式来证,因为△=（-m）^2-4(m-1)=4>0
所以x^2-mx+m-1=0有两个不同的实数根,因此命题成立.
（2） 设B(x1,0),C(x2,0),则x1+x2=m ,x1*x2=m-1
令x=0,则y=m-1,所以A(0,m-1)
三解形ABC的面积=1/2*|x1-x2|*|m-1|=28
而|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=m^2-4(m-1)=(m-2)^2
所以|x1-x2|*|m-1|=|(m-2)(m-1)|=56
解得：m=-6,或m=9
注：实际上m还有两个带根号的解.
（3）由已知得抛物线的顶点坐标P(m/2,-(m-2)^2/4)
由于顶点到B,C的距离相等,所以要使PBC为等腰直角三角形,那么m≠2,只有∠BPC是直角
所以由几何性质得到(m-2)^2/4=|x1-x2|/2
从而(m-2)^2=2|x1-x2|=2|m-2|
解得m=0或m=4.