数列{an}满足an+1+an=4n-3（n∈N*） （Ⅰ）若{an}是等差数列，求其通项公式； （Ⅱ）若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+1．

题目

数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}满足a₁=2，S_n为{a_n}的前n项和，求S_2n+1．

答案

（ I）由题意得a_n+1+a_n=4n-3…①
a_n+2+a_n+1=4n+1…②．…（2分）
②-①得a_n+2-a_n=4，
∵{a_n}是等差数列，设公差为d，∴d=2，（4分）
∵a₁+a₂=1∴a₁+a₁+d=1，∴a1＝−

1

2

．（6分）
∴an＝2n−

5

2

．（7分）
（Ⅱ）∵a₁=2，a₁+a₂=1，
∴a₂=-1．（8分）
又∵a_n+2-a_n=4，
∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，
∴a_2n-1=4n-2，a_2n=4n-5．（11分）
S_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（a₂+a₄+…+a_2n）（12分）
=(n+1)×2+

(n+1)n

2

×4+n×(−1)+

n(n−1)

2

×4
=4n²+n+2．（14分）