已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

题目
已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
答案
解不等式可得B={x∈R|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},
∵p是q的充分不必要条件,
∴p⇒q,q不能推出p,即A是B的真子集,
可知A=∅或方程x2+ax+1=0的两根在区间[1,2]内,
∴△=a2-4<0,或
△≥0
1≤−
a
2
≤2
f(1)=1+a+1≥0
f(2)=4+2a+1≥0
,解之可得-2≤a<2.
故实数a的取值范围为:-2≤a<2.
由题意可得A=∅或方程x2+ax+1=0的两根在区间[1,2]内,建立关于a的不等式组解之可得.

必要条件、充分条件与充要条件的判断.

本题考查充要条件的判断与利用,得出A=∅或方程x2+ax+1=0的两根在区间[1,2]内是解决问题的关键,属基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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