已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an}和数列{bn}满足等式an=b12+b222+b323+…+bn2n

已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an}和数列{bn}满足等式an=b12+b222+b323+…+bn2n

题目
已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}和数列{bn}满足等式an=
b1
2
+
b2
22
+
b3
23
+…+
bn
2n
(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn
答案
(1)设等差数列{an}的公差为d,
则依题意可知d>0由a2+a7=16,
得2a1+7d=16①
由a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55②
由①②联立方程求得
得d=2,a1=1或d=-2,a1=
20
7
(排除)
∴an=1+(n-1)•2=2n-1
(2)令cn=
bn
2n
,则有an=c1+c2+…+cn
an+1=c1+c2+…+cn+1
两式相减得
an+1-an=cn+1,由(1)得a1=1,an+1-an=2
∴cn+1=2,即cn=2(n≥2),
即当n≥2时,
bn=2n+1,又当n=1时,b1=2a1=2
∴bn=
2,(n=1)
2n+1,(n≥2)

于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2-6,n≥2,
Sn=
2     n=1
2n+2-6   n≥2
(1)设等差数列{an}的公差为d,分别表示出a2a6=55,a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公式求得an
(2)令cn=
bn
2n
,则有an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn+1两式相减得cn+1等于常数2,进而可得bn,进而根据b1=2a1求得b1则数列{bn}通项公式可得,进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1

等差数列的通项公式;数列的求和.

本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质.考查了对数列问题的综合把握.

举一反三
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