过点A（0,1）的直线L与抛物线Y^2=2X交于B,C,O为原点.若直线0B,0C的斜率之和为1,求直线L的方程

题目

过点A（0,1）的直线L与抛物线Y^2=2X交于B,C,O为原点.若直线0B,0C的斜率之和为1,求直线L的方程

答案

设两交点为B（X1,Y1）C（X2,Y2）
因为直线过A（0,1）
所以设此直线斜率为k,则有直线方程Y=kX+1
所以存在Y1=kX1+1和Y2=kX2+1
将Y=kX+1和Y^2=2X联立,可以得到一个方程k^2*X^2+2(k-1)X+1=0
所以有得到X1+X2=-2(k-1)/k^2,X1*X2=1/k^2
因为0B,0C的斜率之和为1,O为原点
所以Y1/X1+Y2/X2=1,变形后有X2*Y1+X1*Y2=X1*X2,把Y1用kX1+1代入,Y2用kX2+1代如,计算后得到2X1*X2*k+（X1+X2）=X1*X2
X1*X2再用1/k^2代入,X1+X2用-2(k-1)/k^2代入,得到一个只含K的方程
(-k+1)/K^2=0,明显k不等于0
所以解得K=1
所以直线方程为Y=X+1