已知f（x）=log2（x-1），若实数m，n满足f（m）+f（n）=2，则mn的最小值是_．

题目

已知f（x）=log₂（x-1），若实数m，n满足f（m）+f（n）=2，则mn的最小值是______．

答案

由f（x）=log₂（x-1），且实数m，n满足f（m）+f（n）=2，
所以log₂（m-1）+log₂（n-1）=2．
则

m＞1

n＞1

log2(m−1)(n−1)＝2①

，
由①得（m-1）（n-1）=4，即mn-（m+n）=3．
所以3=mn-（m+n）≤mn−2

．
即mn−2

−3≥0．解得

≤−1，或

≥3．
因为m＞1，n＞1．所以

≥3，mn≥9．
故答案为9．

由题目给出的函数解析式可以得到m和n均大于1，然后由f（m）+f（n）=2，得到mn-（m+n）=3．利用基本不等式转化为含mn的不等式，通过解不等式可以求得mn的最小值．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查了基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，考查了对数函数的性质，利用了数学转化思想方法，是中档题．

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?

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