设N是正整数,求证8的2N+1次方与7的N+2次方之和为57的倍数

题目

设N是正整数,求证8的2N+1次方与7的N+2次方之和为57的倍数

答案

8^(2N+1)+7^(N+2)=8*8^(2N)-49*7^N=8*(64)^N+49*7^N
=8*(57+7)^N+49*7^N
根据杨辉三角公式(A+B)^N 展开项目的系数只有一项目不包括57,其为
7^N
所以8*(57+7)^N除以57的余数也就等于8*7^N除以 57的余数
所以8^(2N+1)-7^(N+2)除以57的余数也就等于8*7^N+49*7^N=57*7^N 除以57的余数
57*7^N 除以57,可以整除
所以8的2N+1次方与7的N+2次方之和为57的倍数