已知二次函数f(x)=ax^2+bx+a的对称轴为x=7/4,且方程f(x)-7x-a=0有两个相等的实数

题目

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+a的对称轴为x=7/4,且方程f(x)-7x-a=0有两个相等的实数
是否存在实数m(m>0),使f(x)的定义域为[m,3],值域为[1,3m]?

答案

因为二次函数f(x)=ax^2+bx+a的对称轴为x=7/4 所以-b/2a=7/4 又方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根 所以方程f(x)=7x+a的判别式Δ=(b-7)^2-4a*0=0 故b=7 所以a=-2 所以f(x)=-2x^2+7x-2 (2)f(x)在[1,3]上的最大值是f(7/4)=-2*(7/4)^2+7*(7/4)-2=33/8 f(x)在[1,3]上的最小值是f(3)=-2*3^2+7*3-2=1 所以f(x)在[1,3]上的值域是[1,33/8] (3)由(2)知f(3)=1 若M=7/4,则3/M=12/7≠33/8,所以不符合 那么M＞7/4 则f(M)=-2M^2+7M-2=3/M 所以2M^3-7M^2+2M+3=0 解得唯有M=3符合,其余解不符合 所以M=3