已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,f(x-1)-f(x)=2x,求⑴f(x)的解析式；⑵f(x)在区间〔-1,1〕的最大值和最小值

题目

已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,f(x-1)-f(x)=2x,求⑴f(x)的解析式；⑵f(x)在区间〔-1,1〕的最大值和最小值

答案

设f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=1所以c=1
f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c
=ax^2+(b-2a)x+a-b+c
f(x-1)-f(x)
=-2ax+a-b+c=2x
推出-2a=2
a-b+c=0
所以a=-1 b=0 c=1
f(x)=-x^2+1
显然顶点在x轴上,此时是最大值
当x=0时最大值是=1
f(x)关于x轴对称
所以f(1)=f(-1)此时为最小值=0