已知无穷等比数列｛an｝首项为1,公比为q,前n项和为Sn,求lim（Sn/Sn+1）

题目

已知无穷等比数列｛an｝首项为1,公比为q,前n项和为Sn,求lim（Sn/Sn+1）

答案

（1）当q＝1时,Sn＝n;S(n+1)＝(n+1)
lim（Sn/Sn+1）＝n/(n+1)＝1
（2）当q＝-1时,n为偶数Sn＝0;S(n+1)=1,极限＝0
n为奇数,Sn＝1;S(n+1)=0,极限不存在；
（3）当q≠±1时：
Sn=a1·(1-q^n)/(1-q)
S(n+1)＝a1·[1-q^(n+1)]/(1-q)
Sn/S(n+1)＝(1-q^n)/[1-q^(n+1)]
∴lim（Sn/Sn+1）＝(1-q^n)/[1-q^(n+1)]
若|q|>1：
lim（Sn/Sn+1）＝lim(1/q^n -1)/[1/q^n-q]＝(-1)/(-q)＝1/q
若|q|