三棱锥顶点P在底面的射影O是△ABC的垂心,PA⊥PB

题目

三棱锥顶点P在底面的射影O是△ABC的垂心,PA⊥PB
（1）求证PA⊥平面PBC（2）若PA=BC=a,二面角P-BC-A的平面角是60度,求三菱锥A-PBC的体积.

答案

证明：（1）连结PO,连结AO并延长交BC于D,连结PD
∵PO⊥平面ABC
∴PO⊥BC
∵O是△ABC的垂心
∴AD⊥BC
∵BC⊥AD BC⊥PO
∴BC⊥平面APD
∴BC⊥AP
∵AP⊥PB
∴AP⊥平面PBC
（2）由（1）可知,∠PDA=60°,则由PA=a,可得PD=根号3*a/3
所以△PBC的面积为S=1/2*a*根号3*a/3=根号3*a^2/6
所以V=1/3*a*根号3*a^2/6=根号3*a^3/18
高中东西忘完了,不知道做的对不