为什么3阶正交矩阵必有一个实特征根,这个根为1或-1

题目

为什么3阶正交矩阵必有一个实特征根,这个根为1或-1

答案

有实特征根是因为,他的特征多项式是3次的,任意奇数次多项式都有实根.由A正交有,A'=A逆(A'表示转置)那么有|A|=|A’|=|A逆|=1/|A|所以|A|²=1,|A|=±1若|A|=1,那么1是A的一个特征值这是因为 |E-A|=|AA'-A| = |A||A...