函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y）,其定义域为R,求证f（x）为偶函数（f（x）≠0）.

题目

函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y）,其定义域为R,求证f（x）为偶函数（f（x）≠0）.

答案

令x=0,则f（x）+f（x）=2f（x）·f（0）,所以f(0)=1.
令y=0,则f（y）+f（-y）=2f（y）·f（0),所以f（y）+f（-y）=2f（y）,即f（y）=f（-y）,得证.