求证 双曲线xy=1上的任意一点处额切线与两坐标轴构成的三角形面积为定值

题目

求证 双曲线xy=1上的任意一点处额切线与两坐标轴构成的三角形面积为定值

答案

设P是双曲线xy=1上任意一点,其坐标为P（ x0,y0),
经过P点的切线方程为y=kx+b,
双曲线化为y=1/x形式,y对x的导数为y'=-1/x^2,
在P点处导数为-1/x0^2,
切线方程为：(y-y0)/(x-x0)=-1/x0^2,
令x=0,y=y0+1/x0=(x0*y0+1)/x0=2/x0=2y0,(其中x0*y0=1),
则切线在Y轴截距为2y0,
令y=0,x=2x0,则切线在X轴截距为2x0,
设切线与两坐标轴相交于A、B两点,构成的三角形为OAB,
S△OAB=|OA|*|OB|/2=|2x0|*|2y0|/2=2|x0*y0|=2,
故切线与两坐标轴构成的三角形面积为定值为2.