已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上有最小值,记作g(a). (1)当a=1时,求g(a) (2)求g(a)的函数表达式 (3)求g(a)的最大值.
题目
已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上有最小值,记作g(a).
(1)当a=1时,求g(a)
(2)求g(a)的函数表达式
(3)求g(a)的最大值.
答案
(1)∵a=1,∴f(x)=2x
2-2x+3,
对称轴为x=
∈[-1,1],
∴g(a)=
,
(2)对称轴为
x=,
①当
≤-1,即a≤-2时,g(a)=f(-1)=2a+5;
②当
-1<<1,即-2<a<2时,g(a)=f(
)=
-+3;
③当
1≤,即a≥2时,g(a)=f(1)=5-2a;
所以g(a)=
| 2a+5,a≤-2 | -+3,-2<a<2 | -2a+5,a≥2 |
| |
;
(3)当a≤-2时,g(a)
max=g(-2)=1;
当-2<a<2时,g(a)
max=3;
当a≥2时,g(a)
max=g(2)=1,
∴g(a)
max=3.
(1)把a=1代入f(x)可求得对称轴,借助图象可得g(1);
(2)对称轴为
x=,按照对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况进行讨论,借助图象可得g(a);
(3)由(2),按照a≤-2,-2<a<2,a≥2三种情况讨论分别求出函数相应的最大值,然后比较取其较大者即可;
二次函数在闭区间上的最值.
本题考查二次函数在闭区间上的最值,考查分类讨论思想,考查学生分析解决问题的能力,属中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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