已知a1,a2,a3,…,an成一个等差数列,其前n项和为Sn=n^2,设bn=an/3^n,记{bn}的前n项和为Tn 证明 Tn

题目

已知a1,a2,a3,…,an成一个等差数列,其前n项和为Sn=n^2,设bn=an/3^n,记{bn}的前n项和为Tn 证明 Tn<1

答案

sn=n^2
s(n-1)=(n-1)^2
an=sn-s(n-1)
=n^2-(n-1)^2
=2n-1
a1=1
a2=3
a3=5
...
an=2n-1
b1=1/3
b2=3/3^2
b3=5/3^3
.
bn=(2n-1)/3^n
bn=(2n-1)/3^n
所以Tn=1/3+3/3^2+5/3^3+...+(2n-3)/3^(n-1)+(2n-1)/3^n
所以3Tn=1+3/3+5/3^2+...+(2n-3)/3^(n-2)+(2n-1)/3^(n-1)
所以3Tn-Tn=1+(3-1)/3+(5-3)/3^2+.+[(2n-1)-(2n-3)]/2^(n-1)-(2n-1)/3^n
2Tn=1+2/3+2/3^2+2/3^3+...+2/3^(n-1)-(2n-1)/3^n
2Tn=1+2×(1/3+1/3²+1/3³+...+1/3^(n-1)-(2n-1)/3^n
2Tn=2-1/3^(n-1)-(2n-1)/3^n
Tn=1-1/2[1/3^(n-1)+(2n-1)/3^n]
因为1/2[1/3^(n-1)+(2n-1)/3^n]>0
所以1-1/2[1/3^(n-1)+(2n-1)/3^n]<1
所以Tn<1