已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值范围是( ) A.[55,1) B.[22,1) C.(0,55] D.(0,22]
题目
已知F
1,F
2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF
1⊥PF
2,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. [
,1)
B. [
,1)
C. (0,
]
D. (0,
]
答案
如图所示,
下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.
设椭圆上任意一点P(x
0,y
0),则
+=1,可得
=b2(1−).
∴|OP|
2=
+=
+
b2(1−)=
+b2≥b
2,当且仅当x
0=0时取等号.
∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.
若椭圆上存在点P,使得PF
1⊥PF
2,则c≥b,∴c
2≥b
2=a
2-c
2,化为
e2≥,解得
e≥.
又e<1,∴
≤e<1.
故选B.
先证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点.若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,⇔c≥b,再利用a,b,c的关系,离心率计算公式即可得出.
双曲线的简单性质.
本题考查了“椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点”的性质、离心率计算公式等基础知识与基本技能方法,属于难题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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