在空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，若AC=BD=a，EF=22a，∠BDC=90°．求证：BD⊥平面ACD．

题目

在空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，若AC=BD=a，EF=

2

2

a，∠BDC=90°．求证：BD⊥平面ACD．

答案

证明：作DC的中点G，连接EG，FG，
则EG=

1

2

AC=

a

2

，GF=

1

2

BD=

a

2

，
∴EG²+GF²=EF²，
∴EF⊥FG，
∵EG∥AC，FG∥BD，
∴BD⊥AC，
∵BD⊥DC，DC⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，AC∪CD=C，
∴BD⊥平面ACD．

作BC的中点G，连接EG，FG，先证明出EG⊥GF，进而证明出BD⊥AC，最后根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面ACD．

本题考点：直线与平面垂直的判定．

考点点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．证明的关键是找到两条相交的与之垂直的直线．