在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC=37． （Ⅰ）求cosC的值； （Ⅱ）若CB•CA=5/2，且a+b=9，求c的长．

题目

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC=3

7

．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若

CB

•

CA

=

5

2

，且a+b=9，求c的长．

答案

（Ⅰ）∵tanC＝37，∴sinCcosC＝37．又∵sin2C+cos2C=1，解得cosC＝±18．∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC＝18．（Ⅱ）∵CB•CA＝52，∴abcosC＝52．解得ab=20．又∵a+b=9，∴a2+b2=41．∴c2=a2+b2-2abcosC=36．∴c=6...

（Ⅰ）利用tanC的值，可求得sinC和cosC的关系式，进而与sin²C+cos²C=1联立求得cosC的值．
（Ⅱ）利用向量的数量积的计算，根据

CB

•

CA

＝

5

2

求得abcisC的值，进而求得ab的值，利用a+b的值求得a²+b²的值，代入余弦定理中求得c．

本题考点：三角形中的几何计算．

考点点评：本题主要考查了余弦定理的应用和同角三角函数的基本关系的应用．注意充分利用三角形的边角关系，建立方程求得问题的答案．