已知A、B、C是平面上不共线三点,动点P满足向量OP=1/3[(1-λ)向量OA+(1-λ)向量OB+(1+2λ)向量

题目

已知A、B、C是平面上不共线三点,动点P满足向量OP=1/3[(1-λ)向量OA+(1-λ)向量OB+(1+2λ)向量
已知A、B、C是平面上不共线三点,动点P满足向量OP=1/3[(1-λ)向量OA+(1-λ)向量OB+(1+2λ)向量OC](λ∈R且λ≠0),O为坐标原点,则P的轨迹一定通过△ABC的（）.
A.内心 B.垂心 C.重心 D.AB边的中点
“O是坐标原点”没有这句话- -

答案

好吧,我来帮你做：
OP=OA+AP,OP=OB+BP,OP=OC+CP
故：3OP=(OA+OB+OC)-(PA+PB+PC)
而：3OP=(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC
=(OA+OB+OC)-λ(OA+OB-2OC)
故：PA+PB+PC=λ(OA+OB-2OC)
取线段AB的中点为D
OA+OB-2OC=2OD-2OC=2CD
而：PA+PB=2PD,即：2PD+PC=2λCD=2λ(PD-PC)
故：2(λ-1)PD=(1+2λ)PC
λ=1时,OP=OC,即：P点与C点重合
λ=-1/2时,2OP=OA+OB,即：P点与D点重合
λ≠1和-1/2时,PD与PC共线,即：C、P、D共线
CD为△ABC的一条中线,故P点定过△ABC的重心