已知圆C的圆心在直线l:x-2y＝0上,并且经过原点和A(2.1),求圆C的标准方程.

题目

已知圆C的圆心在直线l:x-2y＝0上,并且经过原点和A(2.1),求圆C的标准方程.
用直接法,待定系数法（分圆的标准方程和圆的一般方程两种）3种方法做,

答案

方法一：直接法
OA的中点为（1,1/2）,由于 kOA=1/2 ,所以 OA 的垂直平分线的斜率为 k= -2 ,
那么 OA 的垂直平分线的方程为 y-1/2= -2*(x-1) ,
即 4x+2y-5=0 ,
与 x-2y=0 联立可解得圆心为 C（1,1/2）,
因此 r^2=CA^2=(2-1)^2+(1-1/2)^2=5/4 ,
所以,所求的圆的方程为 (x-1)^2+(y-1/2)^2=5/4 .
方法二：待定系数法
设圆的方程为 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 ,
则（1）(2-a)^2+(1-b)^2=r^2 ；
（2）a^2+b^2=r^2 ；
（3）a-2b=0 ,
解得 a=1 ,b=1/2 ,r^2=5/4 ,
所以所求的圆的方程为 (x-1)^2+(y-1/2)^2=5/4 .
方法三：待定系数法
设圆的方程为 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 ,
则（1）0+0+0+0+F=0 ；
（2）4+1+2D+E+F=0 ；
（3）(-D/2)-2*(-E/2)=0 ,
解得 D= -2 ,E= -1 ,F=0 ,
因此所求的圆的方程为 x^2+y^2-2x-y=0 .