已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．

题目

已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．

答案

由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA•

cosA

sinA

+sinB•

cosB

sinB

=cosA+cosB，
∴sinA-cosA=cosB-sinB
∴sin（A-

π

4

）=sin（B+

3π

4

），
∵0＜A＜π，0＜B＜π
∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

＜B+

3π

4

＜

7π

4

∴A-

π

4

+B+

3π

4

=π，
∴A+B=

π

2

，C=π-（A+B）=

π

2