已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点； （3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x

题目

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．

答案

（1）把x=2代入得2²+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；
（2）证明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判别式△=p²-4q＞0，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x²+px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；（5分）
（3）抛物线顶点的坐标为M(−

p

2

，

4q−p2

4

)，（6分）
∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两个根，
∴

x1+x2＝−p x1x2＝q

，
∴|AB|＝|x1−x2|＝

(x1+x2)2−4x1x2

＝

p2−4q

．（7分）
∴S△AMB＝

1

2

|AB|•|

4q−p2

4

|＝

1

8

(p2−4q)

p2−4q

，（8分）
要使S_△AMB最小，只须使p²-4q最小．
由（2）得△=p²-4q=（p+4）²+4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S_△AMB=1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x²-4x+3．（10分）

（1）把x=2代入可求得q与p的关系式；
（2）由△=b²-4ac可判断抛物线与x轴的交点情况；
（3）先写出该抛物线的顶点坐标，方程根与系数关系可求线段AB的长，进而求得△AMB的面积表达，从而求得最小值．

本题考点：抛物线与x轴的交点．

考点点评：考查了代入法、判别式△的使用，以及一元二次方程中根与系数的关系、三角形面积的求法、最大最小值的求解等内容．