已知抛物线L的方程为x^2=2py,(p>0),o为坐标原点,F为抛物线的焦点,直线y=x截抛物线L所得弦|OB|=4根号2
题目
已知抛物线L的方程为x^2=2py,(p>0),o为坐标原点,F为抛物线的焦点,直线y=x截抛物线L所得弦|OB|=4根号2
1)求P
2)抛物线上是否存在异于点O,B的点C,使得经过OBC三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线,求C
第一问答案2,第二问答案貌似是(-2,1)但是我不知道怎么求的,我自己算的是,求出一条与OB距离相等的直线y=x-4,然后用这上面的点和设的C点求距离,但是做不出来.
答案
答:
(1)把y=x代入抛物线x^2=2py,解得:x1=0,x2=2p
所以B点坐标为(2p,2p)
|OB|=√[(2p-0)^2+(2p-0)^2]=2√2p=4√2
所以p=2
抛物线方程为:x^2=4y,点B坐标为(4,4)
(2)OB的垂直平分线为:y-(4+0)/2=-[x-(4+0)/2],即:y=-x+4
O,B,C的外接圆圆心一定在该直线上.设点C(2m,m^2).
OC直线为:y-0=(x-0)(m^2-0)/(2m-0),y=mx/2
OC的垂直平分线为:y-(m^2+0)/2=[x-(2m+0)/2]*(-2/m),y=-2x/m+(m^2+4)/2
与y=-x+4直线的交点O'[-m(m+2)/2,4+m(m+2)/2]即为圆心.
抛物线4y=x^2,y'=x/2,在C点的切线斜率为y'(2m)=2m/2=m
所以半径CO'的斜率应为-1/m,即:
[4+m(m+2)/2-m^2]/[-m(m+2)/2-2m]=-1/m
解得:m1=-1,m2=2
故点C坐标为(-2,1)或者(4,4),由于(4,4)是B点坐标,C是异于O,B的点,
故点C坐标只能是(-2,1).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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