已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(实数a,b,c为常数)的图象过原点,且在x=1处的切线为直线y=−1/2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若常数m>0,求函数f(x)在区间[-m,m

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(实数a,b,c为常数)的图象过原点,且在x=1处的切线为直线y=−1/2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若常数m>0,求函数f(x)在区间[-m,m

题目
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(实数a,b,c为常数)的图象过原点,且在x=1处的切线为直线y=−
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2
答案
(1)∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的图象过原点,
∴f(0)=c=0,
求导函数可得:f′(x)=3x2+2ax+b,
∵在x=1处的切线为直线y=−
1
2

∴f(1)=1+a+b=-
1
2
,f′(1)=3+2a+b=0,
∴a=-
3
2
,b=0,
∴f(x)=x3-
3
2
x2
(2)f(x)=x3-
3
2
x2,f′(x)=3x2-3x=3x(x-1),
令f′(x)>0,可得x<0或x>1;令f′(x)<0,可得0<x<1;
∴函数在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增;在(0,1)上单调递减,
∴函数在x=0处取得极大值0,
令f(x)=x3-
3
2
x2=0,可得x=0或x=
3
2

∴0<m<
3
2
时,f(m)<0,函数在x=0处取得最大值0;
m≥
3
2
时,f(m)≥0,函数在x=m处取得最大值m3
3
2
m2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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