已知三角形ABC的顶点A(0,4),B(0,-4),且4(sinB-sinA)=3sinC,则顶点C的轨迹方程

题目

已知三角形ABC的顶点A(0,4),B(0,-4),且4(sinB-sinA)=3sinC,则顶点C的轨迹方程

答案

显然有：AB＝8.
∵4（sinB－sinA）＝3sinC,∴结合正弦定理,容易得到：4（AC－BC）＝3AB＝24,
∴AC－BC＝6.
∴由双曲线定义,得：
点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的上支（除双曲线与AB的交点外）.
∵AB＝8,∴2c＝8,∴c＝4.
∵AC－BC＝6,∴2a＝6,∴a＝3.
∴b^2＝c^2－a^2＝16－9＝7.
∴点C的轨迹方程是：y^2/3－x^2/7＝1.
令y^2/3－x^2/7＝1中的x＝0,得：y^2/3＝1,∴y＝√3/3.
∴双曲线的上支与AB的交点坐标是（0,√3/3）.
∴满足条件的点C的轨迹方程是：y^2/3－x^2/7＝1,其中y＞√3/3.