已知向量a=（2cos（-θ）,2sin（-θ））,向量b=（cos（90°-θ）,sin（90°-θ））

题目

已知向量a=（2cos（-θ）,2sin（-θ））,向量b=（cos（90°-θ）,sin（90°-θ））
若存在不等于0的实数k和t,使向量x=向量a+（t²-3）向量b,向量y=-k向量a+t向量b满足向量a⊥向量b.试求此时（k+t²）/t的最小值

答案

首先指出：你给的条件“向量a⊥向量b”应该是“向量x⊥向量y”,否则缺条件,而且“向量a⊥向量b”由它们的坐标直接可以推出.
由已知化简得,向量a=(2cosθ,-2sinθ),向量b=(sinθ,cosθ),
∴向量x=(2cosθ+ (t²-3)sinθ,(t²-3)cosθ-2sinθ),向量y=(tsinθ-2kcosθ,tcosθ+2ksinθ),
由向量x⊥向量y,得x•y=0,
即[2cosθ+ (t²-3)sinθ](tsinθ-2kcosθ)+[(t²-3)cosθ-2sinθ)](tcosθ+2ksinθ)=0,
化简得t(t²-3)-4k=0,即k=t(t²-3)/4,
故(k+t²)/t =k/t+t=(t²-3)/4+t=[(t+2)²-7]/4,
所以,当t=-2,k=-1/2时,(k+t²)/t取最小值-7/4.