使得2n（n+1）（n+2）（n+3）+12可表示为2个正整数平方和的自然数n（　　） A.不存在 B.有1个 C.有2个 D.有无数个

题目

使得2n（n+1）（n+2）（n+3）+12可表示为2个正整数平方和的自然数n（　　）
A. 不存在
B. 有1个
C. 有2个
D. 有无数个

答案

∵2n（n+1）（n+2）（n+3）+12
=2（n²+3n）（n²+3n+2）+12，
假设n²+3n+1=t，
则t为奇数，
故令t=2k+1，
∴原式=4（2k²+2k+3）．
若原式可表示为两个正整数x，y的平方和x²+y²，可知x，y均为偶数，不妨设x=2u，
y=2v，于是，有u²+v²=2k 2+2k+3=2k（k+1）+3为4p+3型，
其中P为正整数，而u²+v²不可能是4p+3型，
故满足条件的自然数n不存在．
故选：A．