在等比数列{an}中,an>0(n为正整数）,公比q∈﹙0,1﹚,且a1*a5+2*a3*a5+a2*a8=25,a3与a5的等比中项为2,

题目

在等比数列{an}中,an>0(n为正整数）,公比q∈﹙0,1﹚,且a1*a5+2*a3*a5+a2*a8=25,a3与a5的等比中项为2,
求an的通项

答案

容易得到：等式左边
=a3^2+2a3a5+a5^2
=(a3+a5)^2
又因为a3>0,a5>0,a3+a5>0
∴a3+a5=√25=5
又可以得：a3a5=2^2=4
∴(a3-a5)^2=a3^2-2a3a5+a5^2=(a3+a5)^2-4a3a5=5^2-4*4=9
∴a3-a5=±√9=±3
又：q∈(0,1),q^2<1.
a5=a3^q^20
∴a3-a5=3
2a3=5+3=8,a3=4
a5=a3-3=1
又a3*q^2=a5,解得q^2=1/4,q=1/2
首项a1=a3/q^2=4/(1/2)^2=16
∴an=a1*q^(n-1)=16*(1/2)^(n-1)=16*(1/2)^4*(1/2)^(n-5)=1/2^(n-5)