设A、B均为N阶实对称正定矩阵,证明：如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆阵正定.

题目

设A、B均为N阶实对称正定矩阵,证明：如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆阵正定.

答案

任取非零向量α=(α1,α2,...αn),存在非零向量β=(β1,β2...βn),使得α'β=I,则有β'α=I
因为A-B正定,则有α（A-B)α'>0,则αAα'>αBα'
由A,B正定得A逆,B逆正定,则有βA逆β'>0,βB逆β'>0
所以(βA逆β')(αAα'）（βB逆β'）>(βA逆β')(αBα')(βB逆β')
由αβ'=I与βα'=I带入化简得,βB逆β'>βA逆β'
则β（B逆-A逆）β'>0
再由α的任意性知β也是任意的,故得B逆-A逆是正定的!