抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,它与圆x2+y2=9相交,公共弦MN的长为25,求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.
题目
抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,它与圆x
2+y
2=9相交,公共弦MN的长为
2,求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.
答案
∵抛物线与圆x
2+y
2=9相交,公共弦MN的长为
2,
∴设M(-
,m)、N(
,m).
将M、N坐标代入圆方程,得5+m
2=9,解得m=±2(舍负),
∴M(-
,2)、N(
,2),或M(-
,-2)、N(
,-2),
设抛物线方程为x
2=2ay(a≠0),
∵点M、N在抛物线上,
∴5=2a×(±2),解得2a=±
,
故抛物线的方程为x
2=
y或x
2=-
y.
抛物线x
2=
y的焦点坐标为(0,
),准线方程为y=-
;
抛物线x
2=-
y的焦点坐标为(0,-
),准线方程为y=
.
根据公共弦长为
2,设M(m,-
)、N(m,
),代入圆方程解出m=±2,从而得出点M、N的坐标.再设抛物线方程为x
2=2ay(a≠0),代入M、N坐标解出a值,即可得到抛物线的方程,进而可得抛物线的焦点坐标与准线方程.
抛物线的简单性质.
本题已知抛物线与圆相交所得的弦长,求抛物线的方程.着重考查了直线与圆的位置关系、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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