如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证： （1）PB∥平面AEC； （2）平面PCD⊥平面PAD．

题目

如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：

（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PCD⊥平面PAD．

答案

（1）连结BD，AC交于O．
∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=

1

2

AC
连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥PA
又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD