已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直于OQ,试求m的值.

题目

已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直于OQ,试求m的值.

答案

圆的方程x² +y² +x-6y+m=0可化为：(x+1/2)² +(y-3)² =37/4 -m
则设圆的圆心为C(-1/2,3),半径r=√(37/4 -m)
作线段PQ中点M,连结MC,PC,易知MC⊥PQ
由于PQ所在直线为x+2y-3=0,故设直线MC方程为2x-y+D=0
将点C坐标代入直线MC方程,可得：
2*(-1/2)-3+D=0,解得D=4
所以直线MC方程为2x-y+4=0
联立方程2x-y+4=0,x+2y-3=0求直线PQ与直线MC的交点即PQ中点M
可解得x=-1,y=2
所以中点M坐标为(-1,2)
则|OM|=√5,|CM|=√(1/4 +1)=√5/2
因为OP⊥OQ,所以
在Rt△OPQ中,由点M是斜边PQ上的中点可得：
|PQ|=2|OM|=2√5
即|MP|=√5
则在Rt△CMP中,|CM|=√5/2,斜边|CP|=r=√(37/4 -m)
由勾股定理|CP|²=|MP|²+|CM|²可得：
37/4 -m=5+5/4=25/4
解得m=3